Что значит линейно зависимые строки в матрице

Линейная зависимость в матрицах является одной из фундаментальных концепций линейной алгебры. Рассмотрим матрицу M размерности m х n, где каждая строка представляет собой вектор из n компонент, а каждый столбец — вектор из m компонент. Если вектора-строки этой матрицы линейно зависимы, это означает, что существует нетривиальное линейное соотношение между ними, то есть существуют такие скаляры c1, c2, …, cn, не все из которых равны нулю, что выполняется равенство c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0, где v1, v2, …, vn — вектора-строки матрицы M.

Определение линейной зависимости можно представить как аналогию с физическим понятием «плоскость». Если мы представим вектора-строки матрицы M как векторы в трехмерном пространстве, то линейно зависимые строки будут лежать в одной и той же плоскости. Иными словами, существует линейная комбинация векторов-строк, которая приводит к получению нулевого вектора, исходя из этого сразу понятно, что строки матрицы линейно зависимы.

Представим пример, чтобы лучше понять эту концепцию. Рассмотрим матрицу M размерности 3×3:

1  2  3
2  4  6
3  6  9

В данной матрице видно, что строки имеют линейную зависимость, поскольку третья строка представляет собой сумму первой и второй скалярно умноженных на 3: 3 * (1 2 3) = (3 6 9). Это означает, что третья строка может быть выражена в виде линейной комбинации первых двух строк с коэффициентом 3. Таким образом, строки этой матрицы линейно зависимые.

Линейно зависимые строки в матрице: определение

Чтобы найти линейно зависимые строки в матрице, следует составить все возможные комбинации строк, используя различные коэффициенты и проверить, получается ли в результате нулевая строка.

Например, рассмотрим следующую матрицу:

| 1  2  3 |
| 2  4  6 |
| 3  6  9 |

В данном случае первая и третья строки матрицы выражаются линейной комбинацией второй строки (например, третья строка равна двум умноженной на первую строку), поэтому первая и третья строки являются линейно зависимыми.

Знание линейной зависимости строк в матрице позволяет определить ее ранг, который является важным понятием в линейной алгебре.

Определение линейно зависимых строк в матрице

Например, рассмотрим следующую матрицу:

1  2  3
4  5  6
7  8  9

В данной матрице строки 2 и 3 могут быть выражены в виде линейной комбинации строки 1.

Коэффициенты, при которых это возможно:

  • для строки 2: -3;
  • для строки 3: -6.

Умножение соответствующих строк на коэффициенты дает следующий результат:

1  2  3
-3 -4 -5
-6 -8 -9

Как видно, полученные строки являются пропорциональными. Следовательно, строки 2 и 3 линейно зависимы от строки 1.

Линейно зависимые строки в матрице: примеры

Линейная зависимость между строками в матрице возникает тогда, когда одна из строк может быть представлена как линейная комбинация других строк. То есть существует набор коэффициентов, при умножении которых на соответствующие строки и последующем сложении получается данная строка.

Рассмотрим несколько примеров линейно зависимых строк в матрице. Возьмем следующую 3×3 матрицу:

[ 1  2  3 ]
[ 2  4  6 ]
[ 3  6  9 ]

Строки данной матрицы линейно зависимы, так как третья строка является суммой первых двух строк, умноженных на коэффициент 3:

3 * [ 1  2  3 ] + 3 * [ 2  4  6 ] = [ 3  6  9 ]

Это означает, что третья строка матрицы можно выразить через линейную комбинацию первых двух строк.

Еще одним примером линейно зависимых строк может служить следующая 3×3 матрица:

[ 1  2  3 ]
[ 4  5  6 ]
[ 2  4  6 ]

В данной матрице вторая строка представляет собой сумму первой и третьей строк, умноженных на коэффициент 2:

2 * [ 1  2  3 ] + 2 * [ 2  4  6 ] = [ 4  5  6 ]

Это означает, что вторую строку можно выразить через линейную комбинацию первой и третьей строк.

Таким образом, линейно зависимые строки в матрице указывают на наличие избыточной информации или повторяющихся данных, которые могут быть представлены через другие строки.

Примеры линейно зависимых строк в матрице

Давайте рассмотрим несколько примеров:

  1. Матрица A:
    • [1 2 3]
    • [2 4 6]

    В данном примере, вторая строка (2 4 6) линейно зависима от первой строки (1 2 3), так как ее можно получить путем умножения первой строки на 2.

  2. Матрица B:
    • [1 0 2]
    • [0 1 1]
    • [5 2 8]

    В данном примере, третья строка (5 2 8) линейно зависима от первых двух строк (1 0 2, 0 1 1), так как ее можно представить в виде линейной комбинации этих двух строк: 5 * (1 0 2) + 2 * (0 1 1) = (5 2 8).

Таким образом, примеры линейно зависимых строк в матрице демонстрируют, что одна строка может быть получена из другой либо представлена в виде линейной комбинации других строк.

Оцените статью